作者聯合報╱陳招池／國小校長�

苗縣頭份）]
某校小二月考出了一題：「一打鉛筆12枝，每枝8元，共要付多少錢？哪個算式是正確的？」家長質疑12×8和8×12的答案還不是一樣，引起社會關注。

我負責縣內數學科輔導團的任務，每次辦研習總是有老師提出這樣的問題，爭議頗大，舉書本的例子吧！一隻青蛙有四條腿，三隻青蛙共有幾條腿？問列式子可不可以寫成3×4？當然不可！就像上題8×12不可以寫成12×8，大家的困惑都是答案不是一樣嗎？為何不對？

小二學生剛開始學乘法，是取代連加法的速算法，當然要理解這種算法的意義。若是學生還沒有接觸乘法算則，他們在算青蛙有幾條腿，一定會採取4＋4＋4＝12，而不是3＋3＋3＋3＝12，雖然答案一樣，解題策略與思考邏輯卻迥然不同，前者有意義，後者肯定是把數字湊出來的。

在二年級教乘法時，很重視「倍」的概念，也就是乘數不再有單位，它是由有單位轉化成沒有單位的「倍數」，如十二枝或三隻，其意義就是十二倍或三倍，而被乘數表示「單位量」，如八元、四條腿，因此4×3可以想成四條腿的三倍，8×12就是八元的十二倍，這樣的解題才有意義，是此階段的教學目標，強化孩子認識「倍」的意義。

等到學生升上三年級，學到矩形隊伍的計算，如一個隊伍橫排有八人，直排有十二人，一共有多少人時，則8×12或12×8都可以。此階段的教學目標應該放在運用乘法算則來解題了。

現代家長教育提升了，有能力批判老師出題的品質，這是教育普及的好現象，但各行各業都有其專精的知識，就以這個問題來說，家長搞不懂為何這樣？遺憾的是，似乎也沒人會去說清楚，難題沒解決，造成許多人一開始就畏懼數學，其來有自。

作者聯合報╱干學平／獨立經濟學者�

新竹市)]
一隻青蛙四條腿，三隻青蛙共有幾條腿？陳校長昨日在民意論壇中詳細解釋，為什麼小二學生不可以列成3x4而必須列成4x3的理由。儘管陳校長在百忙中為學生家長解惑，令人敬佩、讚許。我在此提供一點不同意見，希望各級的老師們與教育行政人員，能夠多給學生們一點空間。

一位抓過青蛙，仔細觀察過青蛙腿的孩子，可能會對青蛙和青蛙腿留下深刻的印象。面對三隻青蛙共有幾條腿的問題時，這樣的孩子可能先在腦海裡浮出它們的圖像。如果先釘住左前腿，三隻青蛙就有三隻左前腿。依左右前後順序而算，孩子就可以寫下3+3+3+3，即3x4。換句話說，4x3的硬性規定潛藏著一個教條，先把一隻青蛙的四條腿算完，才能繼續算另隻青蛙的四條腿。

猴子喜歡早上吃四個果子，下午三個，而主人上午給三個，下午才給四個時就生氣。儘管從總數的角度來看4x3=3x4，陳校長提醒家長或學生，莊子朝三暮四寓言裡的猴子，還會有總數以外的角度。的確，美國超市店員給消費者找零時，通常口中念念有詞以八塊、九塊、十塊的一一補上零錢，而非以十減七的減法進行找零的算式。

殊堪可惜，陳校長未容許3x4的角度。話說回來，凡事遵循先算青蛙再算幾條腿的教條，可能反而無法面對今日的多元世界，只能使台灣淪落到「悶經濟」。一塊ＩＣ幾條腿要看功能和創新；半導體產業的垂直分工層次數目，並非看清楚台積電就可以決定；就算看清大盤走勢，股票投資也未必能夠獲利。

三隻青蛙可能只有四條腿，因為環境汙染使得三顆青蛙頭長在一個身上。或者，三隻青蛙共有十一條腿，因為有條腿斷了。如果台灣的老師們在孩子們這樣回答問題後，還能繼續與他們對話而不扣分，我們就不用再擔心台灣的教育與經濟發展。原因在於，觀察、圖像化與關連性，才是知識累積的基礎，教條只能等待被打破。