這是2008美國奧林匹亞數學競賽的正解.........一篇一共5題限時4小時完成，我們所解答的這一題，只有不到十人在限時內解出。這位仁兄也可在google打上ampo2008，即可看而相同的正解。。。。

AX = AB + BC − CA
----------------------
2
AY = BC + CA − AB
----------------------
2
AD = AE = CA + AB − BC
-----------------------------
2
BD = AB − AD = AB − CA + AB − BC
------------------------------------------
2
= AB + BC − CA
------------------
2
= AX.

~~~~~~~~~這是分隔線~~~~~~~~~~~

∠BIC = 180◦− ∠IBC − ∠ICB = 180◦− 0.5∠ABC − 0.5∠ACB
= 180◦− 0.5(∠ABC + ∠ACB) = 180◦− 0.5(180◦− ∠BAC) = 90◦
+ 0.5∠BAC

∠BAC < 60◦
2∠BAC < 90◦+0.5∠BAC,
=∠BOC < ∠BIC

-----------------------------------
到這裡OK,
但為什麼∠BPC < ∠BOC ? ∠PBC + ∠PCB> (∠B + ∠C)/2?

若∠A最小,則BC最短,證明很容易.

但若AB<BC,
則AY=(BC+CA-AB)/2 > AC/2=AN,
圖就不一樣了,
也看不出∠BPC < ∠BOC了.

我做了一個動態幾何檔,
有興趣的可以玩看看.

http://sites.google.com/site/changy...redirects=0&d=1

找到答案了: http://www.math.ca/Competitions/APM...pmo2008-sol.pdf
終於懂了...

這個CASE,
P不一定會在ABC外喔.

請看詳解,
以上那只是證明中抽出來的部分片段,
數學系如果寫這樣就別想畢業了.

TO joeywu: 感謝你為此題做動態網頁

to 喵喵咪: 數學解題不會是只有一個解題法,
我已經說了,你所放的答案沒有考慮到p點在三角形外面的情況.
這解答充其量只是解出題教授當初設計題目時~他腦中所現的"等腰三角形"

其他解題者就這問題所考量的就不只是等腰三角形,而是要把所有可能的情況去想像出來

小弟不才
把答案翻譯成中文敘述看看
看了很久終於搞懂了
如有錯誤或不得體的部分請不吝賜教




取△ABC 內心 I，從 I 點分別對 A B和 AC 做垂線使其交點各為 D 和 E

(不用想太多，我們先假設 AC 是最長的邊，X 置於 AD 線段上， 雖然 P 點不一定會在△ABC內部，但下列的兩個例子會證明，注意 PX 是垂直於 AB 且交於 X )



Solution

在IP上取一中點O，從O點分別對AB和AC做垂線使其交點各為M和N ，則M和N也各為DX和EY的中點

從題目條件可以得到

AX ＝ 1/2(AB ＋ BC － CA)，AY ＝ 1/2 (BC ＋ CA － AB)

從 AD ＝ AE ＝ 1/2(CA ＋ AB － BC)

我們得到

BD ＝ AB － AD ＝ AB － 1/2(CA ＋ AB － BC)＝1/2(AB ＋ BC － CA) ＝ AX

BD ＝ AX

既然 M 為 DX 的中點，這也表示 M 為 AB 的中點。同理，N 也為 AC 的中點

既然 O 為 AB 和 AC 的中垂線交點，所以 O 即為△ABC外心



由於∠BAC ＜ 60 ，O 跟 A 位置都在 BC 的同一側且 ∠BOC ＝ 2∠BAC

我們可以接著算出∠BIC

∠BIC ＝ 180 － ∠IBC － ∠ICB ＝ 180 － 1/2∠ABC － 1/2∠ACB

＝ 180 － 1/2(∠ABC ＋ ∠ACB) ＝ 180 － 1/2 (180 － ∠BAC) ＝ 90 ＋ 1/2∠BAC


從∠BAC ＜ 60 得知 2∠BAC ＜ 90 ＋ 1/2∠BAC

i.e.， ∠BOC ＜ ∠BIC

從這可了解到 I 的位置會落在△BOC 內部，又 O 為 IP 中點

得知 p 位置必定會落在△BOC的外面且跟 O 在 BC 的同一側

因此

∠BPC ＜ ∠BOC ＝ 2∠BAC ＜ 120



Remark

假如一種假設是∠A比另外兩個角小更多的時候，可以清楚的知道 PX (或者假設 X ＝ P 點 )會經過外切圓(圓心 IC )的切線 AB

由於 2∠ACIC ＝ ∠ACB 且 BC ＜ AC

我們得到 2∠PCB ＞ ∠C

同理 2∠PBC ＞ ∠B

因此

∠BPC ＝ 180 － (∠PBC ＋ ∠PCB) ＜ 180 － 1/2(∠B ＋ ∠C) ＝ 180 － 1/2∠A ＜ 120

這樣，這題的特殊情形可以容易地被證明



因為樓主只有把數學算式PO上來
所以看的一頭霧水
既然是證明題,敘述部分千萬不可省略

另外感謝提供答案的joeywu大大

謝謝以上各位大哥們解答，小妹最近這幾天實驗室忙得焦頭爛額。由於當初教授只說我的解答不對，讓我自已找了答案，沒有給各位連結真是抱歉。話說現在的老師是不是都會讓學生自已找答案，我實驗室的老板是留美博士，很喜歡叫我們自已找答案。。。之前敝人就讀於北部某國立大學，每堂課教授都是把大家當小學生一步一步的教，現在這老板讓我對於教職有不一樣的想法!!!