0是不是自然數，就看你使用什麼公理系統。在集合論之下，一般會這樣定義自然數。

0 = {}
1 = {0} = {{}}
2 = {0,1} = {{}, {0}} = {{}, {{}}}
...

可以看出第一個元素 {} （空集）會被直覺地定義成 0, 當然也可以定義成1, 但如果把空集定義成1會讓人覺得很彆扭，所以這就是為什麼在集合論自然數包含0.

但數論中自然數就不包含0. 這種不同定義在數學領域不只有自然數。例如 0.9999.... 有沒有等於 1?

在一般數學系統下，老師都會教你 0.9999.... = 1. 但事實上，在超實數系統中，0.9999.... 不等於 1.

因為超實數系統引入了一個無窮小量，無窮小量就只是無窮小量，不等於 0, 因此0.9999.... 和 1 之間會有一個無窮小量差，所以0.9999.... 不等於 1，這是超實數系統中很直觀的論證。

所以這裡就又有一個爭議，「無窮小量是不是能當成0」？當然在一般微積分理論都直接當成0計算了。但很多數學家都不認同，所以才有超實數的發展。