我看下來感覺上是人際溝通的問題.

有些時候對事不對人在實際應用上就會產生像樓主的問題, 交辦下去而無明確回應, 因為沒有搞定人的關係.
所以如果真要走"對事不對人"的話, 那建議樓主是以顧客立場和明確時間要求:
"可以請您半個小時內確定嗎?" 又或者是
"客戶需求為12點, 所以早上9點一定要寄送, 請您幫忙8:30確認好嗎?"

如果透過人的關係, 關係熟的話:
歹勢客戶急啦, 你可以現在幫忙確認一下嗎?
(我覺得樓主可能跟對方沒有熟成這樣就是)

此外看這篇的回文有一篇是以"指派"二字, 卻又講對方是資深而且是團隊分工, 立場上反倒是以"我交辦"而變成抱怨者, 立場上有點奇怪.
所以如果換成另外一位同事的發文, 不知道會不會變成:
"非我的事情怎麼跑到我這裡? 不會自己去找該負責的人嗎?"
"明明不夠資深也不是主管, 不知道別人手上還有其他任務就硬塞"

所以工作中不要只是認為""我把工作做好就好, 其他不重要""
專業可以透過訓練, 人際關係很多時候是需要經營的.