其實這個定理是由百年爭議的選擇公理所導出的一個結果，當初這兩位數學家證明這個定理是想用來反駁選擇公理，但這個定理被認為只是違反直覺，並沒有矛盾，不過還是有人把它稱為「悖論」（僅管它其實不能叫悖論）。

數學的有趣之處，就是處處都會有驚人之處，當初數學家認為集合論是數學基礎，可以以集合論為基礎，導出所有數學理論，結果羅素發現羅素悖論，差點把集合論判死刑。

後來數學家又整理成公理化集合論，稱 ZF 集合論，如果包含選擇公理，就叫 ZFC.

本來數學家又覺得一切很美好時，覺得可以用集合論來證明一切數學理論，哥德爾又證明出哥德不完備定理：只要你的公理系統可以包含皮亞諾公設（即自然數公設，很簡單，可以 google 一下），你的系統就一定是不完備（無法證明或否證所有的命題），不然就無法保證一致性（即會導出矛盾結果）。

這個證明對數學界的衝擊，大致就相當於物理界發現了不準確原理一樣。哥德爾因而被認為是二十世紀最偉大的數學家之一。

後來有人證明出了連續統假設獨立於現行的 ZFC 系統，亦及這個假設無法用 ZFC 來證明，也無法否證。使數學家期望「一統數學」的願望遭到致命打擊。

（目前也有人用類似方法證明出物理也不存在「統一一切的理論」，不過我個人認為物理和數學有本質上的不同，例如物理上不存在無限小，所有的「小」都會終結在浦朗克尺度，這點就是數學與物理最大的差別。這位學者證明的方式本質上和哥德不完備定理是一樣的，我是不認為這可以完全相容於物理的情況。）

最後在電腦科學界也有很有名的悖論：停機問題。以現行的電腦系統架構，無論你的電腦多麼強大，他連判定什麼時候該停機，都無法做到完全正確。