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referee_c 2012-05-04 04:59 PM
引用:
作者Adsmt
球內是 GMr/(R^3), R 為球半徑，r 為距質心距離，所以才和距質心距離成正比。

內部重力證明比較精采，有興趣的可自己想一下。

剥洋蔥法就不講了.

重力的高斯定律
g 4pi r^2=4pi G (r/R)^3 M
==>g=GMr/(R^3)

山賊 2012-05-04 11:56 PM
引用:
作者Crazynut
從我提供的連結，牛頓的研究成果，絕大部份都是從克卜勒的三大定律中延伸得來的。再仔細看，三大運動定律和重力理論幾乎可以算是"等價"的，只是克卜勒誤以為作用的原因是電磁力而已。

平方反比的關係，幾乎確定是從第三定律導出，所以問題往上延伸，應該問克卜勒如何導出第三定律的關係式……


因為這跟我們所在的空間維度有關..

奶油銓 2012-05-09 11:55 AM
引用:
作者referee_c
Adsmt網友講的大致都沒錯,有誤的部份,前面我已指出.
和[馬克士威方程組]前兩個方程式(電的高斯定律和磁的高斯定律)一樣,Adsmt網友所提的[面積],是指高斯面.

F=GMm/(r^2)這個公式當然容易接受,但是F為何和1/(r^2)成反比,則無法說明.

庫倫定律指出,靜電力也是和距離平方成反比,但庫侖定律並不被包含在[馬克士威方程組]裡,因為用電場來描述這個結果更能夠清楚說明靜電力為何和距離平方成反比,這也就是電的高斯定律,其實電的高斯定律講的和庫倫定律是同一件事情.

同樣的,用重力場來描述重力的作用,就很清楚能知道為何重力與距離平方成反比.
用重力場來描述重力的作用,當然就必須引進[重力通量],就和[電通量]與[磁通量]是一樣的道理.


不好意思，翻個舊文

您與Adsmt網友 利用並企圖想用高斯定律來解釋重力是平方反比的力。 這裡我有些疑問，因為在Adsmt網友做的積分式中我只看到了 ”因“ 表面積與距離平方成反比，而得到 “果” 重力或靜電力與距離平方成反比。

我的疑問有底下幾點：
(1) 高斯定律不僅僅是要求 “場“ 在積分的面上為定值，好讓你們可以拿到封閉取面積分之外，它等式的右邊，也同樣要求 “場” 的散度在體積內的積分要有值，問題是這個值是多少？我以為高斯定律並不能解釋，承接底下的問題

(2) 場的定義是甚麼？

(3) 假使今天萬有引力或靜電力與距離的一次方成反比，一樣跟著取高斯面做積分，如果沒有很小心的話，還是有可能會給出：(雖然作用力的數學形式有些變化，但此時 E 在面上依然是等值，所以還是可以拿出面積分之外。)

E*4pi r^2 = Q (Q是包圍的物理量，好比說質量或電量)

這結果在我來看很顯然是錯誤的算式，當然啦，答案整個就錯了。仔細的想一下，因為等式的右邊就不再能寫成包圍住的電量或質量了。

因此，我以為高斯定律只是一個方便好用的數學等式。它強而有力的解決了對場的源作積分時可能遭遇到的難題，但無助於釐清力或場的本質。

referee_c 2012-05-09 05:15 PM
引用:
作者奶油銓
不好意思，翻個舊文

您與Adsmt網友 利用並企圖想用高斯定律來解釋重力是平方反比的力。 這裡我有些疑問，因為在Adsmt網友做的積分式中我只看到了 ”因“ 表面積與距離平方成反比，而得到 “果” 重力或靜電力與距離平方成反比。

我的疑問有底下幾點：
(1) 高斯定律不僅僅是要求 “場“ 在積分的面上為定值，好讓你們可以拿到封閉取面積分之外，它等式的右邊，也同樣要求 “場” 的散度在體積內的積分要有值，問題是這個值是多少？我以為高斯定律並不能解釋，承接底下的問題

(2) 場的定義是甚麼？

(3) 假使今天萬有引力或靜電力與距離的一次方成反比，一樣跟著取高斯面做積分，如果沒有很小心的話，還是有可能會給出：(雖然作用力的數學形式有些變化，但此時 E 在面上依然是等值，所以還是可以拿出面積分之外。)

E*4pi r^2 = Q (Q是包圍的物理量，好比說質量或電量)


這結果在我來看很顯然是錯誤的算式，當然啦，答案整個就錯了。仔細的想一下，因為等式的右邊就不再能寫成包圍住的電量或質量了。

因此，我以為高斯定律只是一個方便好用的數學等式。它強而有力的解決了對場的源作積分時可能遭遇到的難題，但無助於釐清力或場的本質。

你的結論是正確的.

萬有引力和庫侖力與距離平方成反比,這本來就是由實驗得到的驗證,為什麼與距離平方成反比,事實上只有造物者知道,所以才叫做定律(LAW).

先舉個例子:
若動量守恆是必然的,則可推得牛頓第三運動定律必定會是事實;
相反的,若牛頓第三運動定律是最根本必然成立,則可推得動量需守恆.

爭動量守恆和牛頓第三運動定律哪一個是最基本的,這毫無意義,因為這都是造物者訂下的LAW.
問動量為何需守恆以及牛頓第三定律為何會成立,這同樣也毫無意義,這只有造物者知道.

回到原題,電高斯定律的前身本來就是庫倫定律.
和距離平方反比的庫倫力早已確定,才會有高斯面上固定的電通量值Q/ε(4pi K Q).
因此,用高斯定律來反推庫倫力平方反比,就像上面的例子一樣,其實本來就是為解釋而解釋.

重力高斯定律亦同.

至於為解釋而解釋是否有意義,那就要看對象了.
如果是你,馬上看出問題所在,但是對於[只是]喜歡問問題的多數人,簡單的正確答案未必能滿足他們,所以為解釋而解釋就是必要的了.

但是,話說回來,如果高斯早牛頓出生幾年,在年頓之前就以實驗發現高斯定律等式右邊的值等於4pi G M,或許將來有人問,為什麼等式右邊的值是4pi G M?就反而有人會用牛頓萬有引力距離平方反比來[為解釋而解釋]了.

PS:場的定義你知我知,就不贅言了.

奶油銓 2012-05-09 05:42 PM
引用:
作者referee_c
你的結論是正確的.

萬有引力和庫侖力與距離平方成反比,這本來就是由實驗得到的驗證,為什麼與距離平方成反比,事實上只有造物者知道,所以才叫做定律(LAW).

先舉個例子:
若動量守恆是必然的,則可推得牛頓第三運動定律必定會是事實;
相反的,若牛頓第三運動定律是最根本必然成立,則可推得動量需守恆.

爭動量守恆和牛頓第三運動定律哪一個是最基本的,這毫無意義,因為這都是造物者訂下的LAW.
問動量為何需守恆以及牛頓第三定律為何會成立,這同樣也毫無意義,這只有造物者知道.

回到原題,電高斯定律的前身本來就是庫倫定律.
和距離平方反比的庫倫力早已確定,才會有高斯面上固定的電通量值Q/ε(4pi K Q).
因此,用高斯定律來反推庫倫力平方反比,就像上面的例子一樣,其實本來就是為解釋而解釋.

重力高斯定律亦同.

至於為解釋而解釋是否有意義,那就要看對象了.
如果是你,馬上看出問題所在,但是對...


您這樣講我就知到您的意思了，不過

關於動量守恆和牛頓第三運動定律等價 這點我也不是很認同

我的看法是

若然作用力與反作用不時時刻刻相等，但我只要保證兩邊的力對時間積分相等即可。

當然這問題我求學時期與同學討論過了，結論不外乎

(1) 若要保證對任意時刻動量都守恆，作用力等於反作用力很明顯的是一個解。
(2) 在不是微觀的狀況下，縱使作用力不等於反作用力，動量守恆依然可以成立。

不過我現在脫離古典力學很久了，說不定跟不上時代了也說不定。

referee_c 2012-05-09 06:15 PM
引用:
作者奶油銓
您這樣講我就知到您的意思了，不過

關於動量守恆和牛頓第三運動定律等價 這點我也不是很認同

我的看法是

若然作用力與反作用不時時刻刻相等，但我只要保證兩邊的力對時間積分相等即可。

當然這問題我求學時期與同學討論過了，結論不外乎

(1) 若要保證對任意時刻動量都守恆，作用力等於反作用力很明顯的是一個解。
(2) 在不是微觀的狀況下，縱使作用力不等於反作用力，動量守恆依然可以成立。

不過我現在脫離古典力學很久了，說不定跟不上時代了也說不定。

動量守恒的時間間隔,modern view是微觀的,這點您可以放心.

奶油銓 2012-05-09 10:23 PM
引用:
作者referee_c
動量守恒的時間間隔,modern view是微觀的,這點您可以放心.

可我訴求的重點是

一系統滿足動量守恆不一定要同時保證作用力等於反作用力。

這樣兩者要如何互相解釋?

referee_c 2012-05-09 10:37 PM
引用:
作者奶油銓
可我訴求的重點是

一系統滿足動量守恆不一定要同時保證作用力等於反作用力。

這樣兩者要如何互相解釋?

一系統對任何dt滿足動量守恆,將系統一分為二,此二者作用力大小必等於反作用力大小.

奶油銓 2012-05-10 12:49 AM
引用:
作者referee_c
一系統對任何dt滿足動量守恆,將系統一分為二,此二者作用力大小必等於反作用力大小.


你這個回答正是我一開始說的

積分 (F12-F21)dt=0

並不必然保證 F12=F21

事實上，
(1) 牛頓第三定律有許多前提，如Marion and Thornton的古典力學書中所述。這裡我就不多詳述了。
(2) 線動量守恆來自系統的平移對稱(這點可以從系統的Lagrangian來推得)。

基於這兩點理由，要說線動量守恆與牛頓第三運動定律等價，真的有難度。

比方說，你應該知道Bio-Savart定義下的磁力不滿足第三運動定律，但是事實上，
考慮一封閉系統物體間的作用力，即便僅有重力或者靜電力，當此作用力與物體的速度有關時，牛頓第三運動定律也自動不成立。後者在很多電磁學的課本裡都有寫，我相信數學形式一致的萬有引力也該有相同的結論。

referee_c 2012-05-10 01:26 AM
引用:
作者奶油銓
你這個回答正是我一開始說的

積分 (F12-F21)dt=0

並不必然保證 F12=F21

事實上，
(1) 牛頓第三定律有許多前提，如Marion and Thornton的古典力學書中所述。這裡我就不多詳述了。
(2) 線動量守恆來自系統的平移對稱(這點可以從系統的Lagrangian來推得)。

基於這兩點理由，要說線動量守恆與牛頓第三運動定律等價，真的有難度。

比方說，你應該知道Bio-Savart定義下的磁力不滿足第三運動定律，但是事實上，
考慮一封閉系統物體間的作用力，即便僅有重力或者靜電力，當此作用力與物體的速度有關時，牛頓第三運動定律也自動不成立。後者在很多電磁學的課本裡都有寫，我相信數學形式一致的萬有引力也該有相同的結論。

我覺得您扯遠了,先跟您確認一下力的定義.

力的定義F=dp/dt
所以線動量守恒若寫成微分式,自然可得dp1/dt=dp2/dt. ==>F1=F2

除非您的力有新的定義,否則,這是必然的結果.


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