Major Member
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文章: 105
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關於”抽鑰匙”的機率問題,果然是經典。
之前我在板上曾貼過一篇”抽鑰匙”的機率問題,茲重列如下:
題目一: 「有三把鑰匙,其中只有一把是對的。現在甲先抽,但放著,還不知道對錯。乙後抽,並立刻拿去試,而證明是錯的。現在試問甲應不應該換那第三把沒人選的鑰匙?也就是請問,哪一把鑰匙正確的機率比較大?」 我覺得這題真是經典,因為題目很短,看似簡單,但連大學副教授都會被騙。 在我說明我個人對這題的看法前,我先再另外列一個”相似題”於下,請大家想想看和本題有何不同。 題目二: 「有三把鑰匙,其中只有一把是對的。現在有甲乙丙三個人,三個人抽完後,乙拿他的鑰匙去試,並立刻證明是錯的。現在試問甲應不應該和丙換鑰匙?也就是請問,甲和丙的鑰匙哪一把正確的機率比較大?」 我的看法如下: 『重點一是:樣本空間是否也經發生了改變。』 如果: 1.甲乙丙三人”先抽完鑰匙”,乙”再公佈”他那把是錯的(題目二),則此時因為甲乙丙三者在隨機抽取時,是處在同一個樣本空間裡(樣本數為三),所以答案就會如很多人所算的,各自正確的機率是1/2,即”換不換沒差”。 2.但若今天是”甲乙兩個人先抽完,並且乙公佈他那把是錯的”,此時”丙最後走進來拿走第三把沒人選的鑰匙”(如題目一),則,甲乙在隨機抽鑰匙時,就是位在原先第一個樣本空間裡(樣本數有三),而丙甲就位在第二個樣本空間裡(樣本數只有二),此時因為甲手上那把是在”三選一”的情況下隨機抽出的,所以正確的機率就是1/3,而丙那把是在樣本數只有二的空間裡遺留下來的,但: 『重點二是:雖然在乙公佈了他的鑰匙後,丙甲已經位在第二個樣本數只有二的空間裡,但此時的情況並不是如許多人所想像的”二選一”。』 『什麼叫”二選一”?在毫無資訊的情況下,”選”,即有”隨機抽”的意思吧?』 但是,甲手上那把是在第一個樣本數為三的空間裡隨機抽出來的,而遺留下的那把卻是在樣本數為二的空間裡(可以視為”抽”出來),所以此時的情況(從丙甲兩把鑰匙選出一把),因為並非毫無資訊,所以當然不是”隨機抽”了。 既然甲手上那把在第一個樣本數等於三的樣本空間裡隨機抽出時,已經決定的正確率只有三成,那還會和第二個樣本空間裡的丙手上那把的正確率一樣,各50%嗎? 所以在題目一裡,最後答案才會是,甲手上那把正確率是1/3,而沒人選的第三把正確率則是2/3,所以甲應該換。 接下來我回答幾個常見的爭議和質疑: 1.究竟乙是故意抽錯還是隨機抽錯有沒有差別? 答案是,肯定沒差。 原因是,甲乙在作隨機抽取時,是同位在第一個樣本數為三的樣本空間裡。當我們一開始估算甲抽中的機率是1/3時,其實就已經假設”乙也是隨機抽取的”。既然”乙是隨機抽”,這點本來就是我們一開始的假設,那到最後再去討論”乙是故意抽還是隨機抽”還有什麼意義呢? 或許又有人要再反回來問:「那如果一開始我們就假設,乙會故意抽錯呢?」問題是,這種假設本身就不合理。除非是作實驗,乙才會故意去抽錯的,又除非甲能預卜先知,否則他如何肯定之後乙”一定會”抽錯? 但就題意來看,我們可以肯定,那絕不是在做實驗,且甲更不可能有預卜先知的能力。 2.又有人說,雖然一開始甲抽到的機率是1/3,但隨著得到的資訊愈多(甲確知乙抽到錯的鑰匙),機率值就應該修正,也就是甲手上那把正確的機率應該修正到1/2。 這個問題的答案,其實和之前是一樣的原因,就是”甲確知乙抽到錯的鑰匙”的這個資訊,其實一開始就隱含在我們的假設裡,它並不是一個新的資訊。 其實我們一開始就已經假設,”乙有可能抽對,也有可能抽錯鑰匙”,所以我們才會說,”甲抽到對的鑰匙機率只有1/3”,而不是0(乙一定會抽對鑰匙),或1/2(乙一定會抽錯鑰匙)。 換言之,”乙抽到錯的鑰匙的這個事實”,等於只是證明”我們一開始的假設是正確的”,它本是屬於我們假設的一部分,根本不是”新的資訊”,所以也就不能回頭再影響一次甲抽中鑰匙的機率。 關於”得到的資訊愈多,估算的機率值就會愈精準”這點,我有找到一個介紹何謂”條件機率”的網頁,各位可以仔細比較他的前言所描述的情況和我們這題抽鑰匙的情況有何不同,應該就會明瞭了。 http://probstat.nuk.edu.tw/content_new/c1-3.htm 以上感謝"8:5" 兄私下和我詳細討論,我才能完全搞懂這題,謝謝。: ) |
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2004-06-10, 10:47 AM
#1
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Senior Member
加入日期: Sep 2001 您的住址: K
文章: 1,445
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您的理論小弟大致上認同...
但您所提出的一點事實上是有問題的 1.甲乙丙三人”先抽完鑰匙”,乙”再公佈”他那把是錯的(題目二),則此時因為甲乙丙三者在隨機抽取時,是處在同一個樣本空間裡(樣本數為三),所以答案就會如很多人所算的,各自正確的機率是1/2,即”換不換沒差”。 由於甲乙丙三人是輪流抽鑰匙,所以甲一開始抽時,抽到正確鑰匙的機率是1/3沒錯,但乙丙兩人抽到正確鑰匙的機率可就不是1/3了,完全得視甲有沒有抽到正確鑰匙而定。 所以就得有兩種情況的假設 首先若甲抽到正確鑰匙(機率為1/3) 那麼不管題目的假設,乙丙兩人抽到的都會是錯的(抽到正確鑰匙機率為零),所以甲選擇不跟丙換是正確的,而由於這情況的出現只有甲抽到正確鑰匙的情況,所以選擇不換而拿到正確鑰匙的機率有1/3 若甲抽到錯的鑰匙(機率為2/3) 由於題目的假設已經指明乙所抽的鑰匙為錯誤鑰匙,換句話說丙無論如何一定會抽到正確鑰匙,因此機率為1,乘上甲抽到錯誤鑰匙的機率,選擇換而拿到正確鑰匙的機率有2/3 所以無論如何,換鑰匙絕對是正確的選擇 |
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2004-06-10, 11:40 AM
#2
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Basic Member
加入日期: May 2001
文章: 16
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題目的設計沒有很複雜
我實在搞不懂為什麼大家都不稍微實驗一下 一堆各說各話的理論 對不對沒有人知道 都是自己在講爽的 只要稍微實作一下 很快就能發現理論中的盲點 與真正的關鍵所在 我不想多說 大家可以細心體會,不要只急著反駁 -- 光耍嘴皮子是沒有任何幫助的 重點是類似的情況真的發生時 大家要知道如何去判斷 而不是玩文字遊戲,『說贏的』就算了 -- 現在情況可說是騎『唬難』下 要任何一邊拉下臉承認錯誤似乎是很難的啦 |
2004-06-10, 12:28 PM
#3
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Basic Member
加入日期: May 2004
文章: 12
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簡單的說
第一次抽3把鑰匙 "甲","乙" 各佔1/3的機率 當"乙"嘗試後發現自己的鑰匙是錯的 因為"甲"抽中的機率是1/3 所以"丙"去抽的時候是以100%-"甲"抽中的機率(1/3)=2/3 這樣解釋應該沒錯吧!! 問題來了 以"空集合"與"零集合"類似的觀點來看 第3把鑰匙的持有人是 "沒有人" 的 所以"丙"只是把第3把鑰匙的所有權從"沒有人"那裡取得 而"沒有人"的性質(1/3的抽中率)也繼承給 "丙' 所以"甲""丙"都是一樣的抽中機率 換一個角度來看 當"乙"發現自己沒有抽中時 應該把"乙"抽中機率(1/3)平均分到"甲"和"沒有人"上 也就是各自50%的機率 然後"丙"拿到第3把鑰匙,進而取得"沒有人"持有的性質(50%的機率) 所以"甲"要不要換鑰匙,機率都一樣 以鑰匙孔的方向來看 不管你鑰匙的持有人如何分配 或是照批次來算遞增或遞減 只有一把會對 那有3把鑰匙就是各1/3的機率 那有2把鑰匙就是各1/2的機率
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2004-06-10, 12:31 PM
#4
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Amateur Member
加入日期: Apr 2002
文章: 46
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回覆: 關於”抽鑰匙”的機率問題,果然是經典。
提出一些我的看法
引用:
如果甲比乙先抽, 一開始估算甲抽中的機率時, 就不用考慮乙是不是隨機抽的 因為甲的選擇發生在乙的選擇之前, 所以乙無法影響甲一開始抽中的機率 但公佈 "乙是錯的" 之後, 甲此時重新估算 "自己手上的鑰匙是對的" 的機率時 乙是 "故意抽錯" 還是 "隨機抽錯", 對甲來說, 意義重大 引用:
在 "假設" 之下, 沒有什麼是不合理 就像 "羊與轎車" 的問題, 就可以肯定主持人知道答案, 所以也可以肯定主持人是故意開一個錯的門, 不然我也可以說 "幫觀眾拿轎車? 哪有主持人會做這蠢事的!" 當然甲也有可能完全不知道乙是不是故意的, 這時候甲就要把兩種情況都考慮進去 更精細一點的, 還要去估算乙知情與否的可能性各是多少, 然後再去估算要不要換 但甲如果知道乙是不是故意的, 就可以把另一種情況排除 引用:
暫且不討論對我們來說, 這算不算新的資訊 但對甲而言, 它的確是一個新的資訊, 畢竟整個題目敘述是有時間軸的 引用:
同我一開始說的 只要甲比乙先抽, 一開始估算甲抽中的機率時, 就不用考慮乙是不是隨機抽的 因為不影響(也無法影響)甲一開始抽中的機率 引用:
同上上一段說的, 對甲而言, 它是一個新的資訊, 因為題目是有時間軸的 引用:
上一個討論串我也提了一個條件機率的問題, 您還沒回應我呢 我在這裡再提一次: A:甲一開始就抽中正確的鑰匙 B:乙抽到錯誤的鑰匙 原題目可代換成: 比較 P(A|B) 與 1 - P(A|B) 的大小 您說 "乙是故意抽錯還是隨機抽錯", 有沒有關係呢?? |
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2004-06-10, 12:49 PM
#5
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Senior Member
加入日期: Sep 2001 您的住址: K
文章: 1,445
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這問題跟乙是不是故意拿錯的鑰匙一點關係也沒有,因為題目早就說乙抽到的是錯誤鑰匙,所以請不要想太多!!
由於甲乙丙三人是輪流抽鑰匙,所以甲一開始抽時,抽到正確鑰匙的機率是1/3沒錯(三把選一把),但乙丙兩人抽到正確鑰匙的機率可就不是1/3了(因為只剩兩把鑰匙),完全得視甲有沒有抽到正確鑰匙而定。 所以就得有兩種情況的假設 1.首先若甲抽到正確鑰匙(機率為1/3) 那麼不管題目的假設,乙丙兩人抽到的都會是錯的(抽到正確鑰匙機率為零),所以甲選擇不跟丙換是正確的,而由於這情況的出現只有甲抽到正確鑰匙的情況,所以選擇不換而拿到正確鑰匙的機率有1/3。 2/若甲抽到錯的鑰匙(機率為2/3) 由於題目的假設已經指明乙所抽的鑰匙為錯誤鑰匙,換句話說丙無論如何一定會抽到正確鑰匙,因此機率為1,乘上甲抽到錯誤鑰匙的機率,選擇換而拿到正確鑰匙的機率有2/3。 所以無論如何,換鑰匙絕對是正確的選擇 ps.請大家一定要考慮抽鑰匙的順序,不然一定會迷失的!! |
2004-06-10, 01:11 PM
#6
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Amateur Member
加入日期: Apr 2004
文章: 43
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其實不用理乙是不是故意抽錯鑰匙,因為不管怎樣都是錯的鑰匙
甲先從三把鑰匙中抽一把,抽對的機率是1/3, 如果抽999次,甲抽對鑰匙會有333次 那表示另外的666次是剩下的兩把會是對的機會, 既然乙從剩下的兩把裡面抽到錯的,就表示他抽對鑰匙的次數是0次 所以甲換鑰匙會有較高的機會拿到對的 這樣應該比較清楚: 抽999次 1/3 ╭ 2/3 ╮ [?] [?] [?] 對的次數 333 ╰ 666 ╯ 甲 乙 [?] [x] [?] 對的次數 333 0 666 |
2004-06-10, 01:26 PM
#7
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Major Member
加入日期: Dec 2002 您的住址: 謎
文章: 265
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回覆: 關於”抽鑰匙”的機率問題,果然是經典。
引用:
您客氣了,不過,我們還沒結論啊,基本上您上面的論點我並不同意。 以我對原始題目字面上的解讀,答案是換不換沒差。 理由就不再贅述了。 |
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2004-06-10, 01:35 PM
#8
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Amateur Member
加入日期: Apr 2002
文章: 46
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引用:
所有問題的焦點就是在這裡 所謂的 "乙所抽的鑰匙為錯誤鑰匙" 是指 "乙無論如何一定會抽錯" or "只去考慮乙抽錯的情況" ?? 引用:
以這個例子來說, 正常分布的情形應該是 (1). 甲O, 乙X, 剩下X, 333次 (2). 甲X, 乙O, 剩下X, 333次 (3). 甲X, 乙X, 剩下O, 333次 設定A: 甲抽錯之後, (2)的情況不可能發生, 所以(2)的333次全部併到(3)去 此時就是你們堅持的換(2/3)比不換(1/3)好 (但這種情況等於是乙故意去選錯的, 不然不太可能發生) 設定B: 乙有可能抽對, 但我們只考慮乙抽錯的(1)(3)兩種情況 這時就是換不換都沒差了(各1/2) 此文章於 2004-06-10 02:04 PM 被 driftice 編輯. |
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2004-06-10, 01:47 PM
#9
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Major Member
加入日期: Feb 2004 您的住址: Taiwan, Republic of China
文章: 105
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回覆: 回覆: 關於”抽鑰匙”的機率問題,果然是經典。
引用:
呵呵~你說:「如果甲比乙先抽,一開始估算甲抽中的機率時,就不用考慮乙是不是隨機抽的。」是嗎?甲當然不用考慮乙接下來”要不要”隨機抽。但問題就是, 『你(甲)如何估算自己抽中的機率?』^^ 如果你(甲)說自己抽中的機率是1/3,不就代表他認為乙是隨機抽的?如果甲說自己抽中的機率是1/2,不就代表他認為乙一定會抽錯?而如果甲說自己抽中的機率是0,不就代表他認為乙”一定會抽對”? 你懂我的意思嗎?^^ 問題是,甲有可能在第一時間點就知道,乙一定會抽對或抽錯嗎?所以甲在計算機率值時,才會合理的假設:”乙可能會抽對,也可能會抽錯”,而這個假設,不就是大家一直在爭議的,”到底乙是不小心抽中的對甲一開始的機率值1/3有沒有影響?”不是嗎? 這是很關鍵的一點,如果你無法認同,那我們以下再多的討論都沒有意義。 |
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2004-06-10, 02:30 PM
#10
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